Математика Курс лекций по информатике Машиностроительное черчение Решение задач по физике Теоретические основы электротехники Сопротивление материалов История искусства Ядерные реакторы
Вычисление двойных и тройных интегралов Приложения тройного интеграла Тройной интеграл в декартовых координатах Тройной интеграл в сферических координатах Формула Грина. Поток векторного поля через поверхность

Решение задач типового расчета по математике

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП

Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z0 называется предел:

,

где , и  произвольным образом.

Функцию w = f (z), дифференцируемую в точке z0 и некоторой ее окрестности, называют аналитической, или регулярной функцией в точке z0.

 Точки, в которых ФКП не является аналитической, называют особыми точками этой функции.

Для того, чтобы функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) была аналитической в области D необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1-го порядка функций u(x, y)  и v(x, y) были непрерывны в этой области и выполнялись бы условия:

,  (10)

называемые условиями Эйлера-Даламбера, или условиями Коши-Римана.

Пример 2. Проверить аналитичность ФКП .

  Þ u = x2 – y2 – 2x; v = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.

Пример 3. Проверить аналитичность ФКП .

Выделим действительную и мнимую части функции:

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция   аналитическая при .

Если функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную   можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.

Пример 4. Вычислить значение производной функции  в точке

z0 = – 1+ i.

Функция  – аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:

.

Вычислим значение производной в точке z0 = – 1+ i:

Следовательно, .

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

 


Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора Математика решение задач