дачный домик строительство крыши
Интеграл решение Математика Информатика Машиностроительное черчение Задачи физика Лекции электротехника Сопромат История искусства Ядерные реакторы Задачи электротехника Инженерная графика Начертательная геометрия
Метод половинного деления Метод прямоугольников Метод наименьших квадратов Методы решения систем линейных уравнений Нахождение ранга матрицы Линейное программирование Математическая статистика

Математика решение уравнений

Построение многочлена Лагранжа.

Зная вспомогательные многочлены, легко построить и искомый многочлен в виде их линейной комбинации:

В самом деле, степень Рn(х) не выше n, a подставляя в эту формулу значения Х=Хj, получаем: Рn (Xj)=Уj при j=0,1,2,...,n.

Поскольку ранее мы установили, что многочлен степени n, удовлетворяющий условиям интерполяции в узлах единственен, то построенный многочлен Рn(X) и является искомым. Окончательно, он запишется в виде:

Упражнения: Пользуясь формулой (2.1) выписать интерполяционный многочлен в форме Ньютона для функции, заданной таблицей:

 (2.2)

X

1

2

3

 (2.3)

X

-1

0

1

2

y

2

3

6

y

2

2

2

8

 

Оценка точности формулы (2.1) проводится при предположении, что исходная функция f(x) является (n+1) раз дифференцируемой и мы знаем максимум модуля ее (n+1)-ой производной Mn+1. Как уже отмечалось выше, без дополнительных ограничений на гладкость функции никаких оценок произвести нельзя.

Оценка погрешности.

Итак, оценим погрешность формулы (2.1) в какой-нибудь точке ХÎ[a,b], т.е. будем оценивать R(X),где R(x)=f(x)-Pn(x)

Обозначим многочлен степени (n+1) с корнями в узлах интерполирования через w(x):

и введем вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-Pn(x)-b w(x) (2.2)

При этом коэффициент b в формуле (2.2) мы выберем так, чтобы выполнялось условие

F(X)=0, т.е. f(X)-Pn(X)=b w(X) или R(X)=b w(X) (2.3).

Мы можем без ограничений общности считать, что точка Х не совпадает ни с одним из узлов Хi, поскольку в них погрешность равна 0. В этом случае вспомогательная функция обращается в нуль не менее (n+2) раз на отрезке [a,b]: в точке X и в узлах интерполяции, т.к. w(Xi)=0 и f(Xi)= Pn(Xi).

Используем теорему Ролля, которая утверждает, что между любыми двумя нулями дифференцируемой функции найдется нуль производной, видим, что первая производная F'(x) должна обращаться в нуль на отрезке [a,b] не менее (n+1) раз.

Аналогично, вторая производная F''(x) обращается в нуль не менее n-раз на отрезке [a,b] и т.д.

Рассуждая подобным образом, мы установим, что функция F(n+1)(x) обязательно обращается в нуль хотя бы один раз на отрезке [a, b].

Пусть F(n+1)(d)=0. Дифференцируя формулу (2.2) (n+1) раз, получаем:

F(n+1)(x)=f(n+1)(x)-0-b(n+1)!

откуда легко видеть, что:

f(n+1)(d)=b(n+1)!, или b=f(n+1) (d)/(n+1)!

Подставляя полученное выражение в (2.3), видим:

R(x)=f(n+1)(d)w(x)/(n+1)!,

откуда уже легко произвести нужную оценку

 (2.4)

справедливую для всех точек отрезка [a,b].

Интерполирование функций При решении большинства вычислительных задач приходиться иметь дело с функциями, заданными таблично, а не аналитически.

Интерполяция многочленом. Единственность интерполяционного многочлена n-й степени.

Упражнения: Пользуясь формулой (2.4) произвести оценку точности интерполяции при Х=1.5 в условиях:2.4. Упражнения (2.2) и предположения M3 < 10 на [1,3].

1.Произвести вспомогательные выкладки для оценки погрешности в своем варианте. 2.Подготовить тексты программ линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу с оценкой погрешности.

Численное интегрирование функций Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке.


Математика решение уравнений