Интеграл решение Математика Информатика Машиностроительное черчение Задачи физика Лекции электротехника Сопромат История искусства Ядерные реакторы Задачи электротехника Инженерная графика Начертательная геометрия
Метод половинного деления Метод прямоугольников Метод наименьших квадратов Методы решения систем линейных уравнений Нахождение ранга матрицы Линейное программирование Математическая статистика

Математика решение матриц

Градиентный метод

Пусть функция  непрерывно дифференцируема на , а Î

В основе градиентного метода минимизации (максимизации) функций многих переменных лежит следующее замечательное свойство градиента: при направление наибыстрейшего возрастания функции в точке совпадает с направлением градиента , а направление наибыстрейшего убывания - с направлением антиградиента .

Это метод, как и все итерационные методы, предполагает выбор начального приближения - некоторой точки . Общих правил выбора точки в градиентном методе, как, впрочем, и в других методах, к сожалению, нет. В тех случаях, когда из геометрических, физических или каких-либо других соображений может быть получена априорная информация об области расположения точки (или точек минимума), то начальное приближение стараются выбрать поближе к этой области.

Пусть  выбрано. Тогда градиентный метод заключается в построении последовательности {} по правилу , .

- длина шага или просто шаг градиентного метода.

Если , то шаг можно выбрать так, чтобы . Если , то - точка минимума функции . В этом случае итерационный процесс прекращается.

Существуют различные способы выбора величины в градиентном методе. В зависимости от способа выбора можно получить различные варианты градиентного метода.

На луче, направленном по антиградиенту, введем функцию одной переменной , и определим  из условий .

Этот метод принято называть методом наискорейшего спуска. На практике итерации продолжают до тех пор, пока не будет выполнен некоторый критерий окончания счета

, или , или , где - заданные числа.

Теоретические исследования и численные эксперименты подтверждают, что метод наискорейшего спуска и другие варианты градиентного метода медленно сходятся в тех случаях, когда поверхности уровня функции сильно вытянуты и функция имеет так называемый овражный характер. Для ускорения сходимости к решению в таких случаях предлагается исследовать овражный метод.

Для более детального знакомства с данной темой предлагается книга Ф. П. Васильева "Численные методы решения экстремальных задач".

Метод квадратичной интерполяции Этот метод основан на замене в промежутке квадратичной параболой, экстремум которой вычисляется аналитически.

Упражнение 7. Найти наименьшее n, начиная с которого точность метода золотого сечения больше точности метода деления отрезка пополам в 2 раза, в 10 раз.Упражнение 8. Написать алгоритм описанного метод.

В чем суть классического подхода к решению задач нахождения экстремума функций одной переменной?


Математика решение уравнений