Интеграл решение Математика Информатика Машиностроительное черчение Задачи физика Лекции электротехника Сопромат История искусства Ядерные реакторы Задачи электротехника Инженерная графика Начертательная геометрия
Метод половинного деления Метод прямоугольников Метод наименьших квадратов Методы решения систем линейных уравнений Нахождение ранга матрицы Линейное программирование Математическая статистика

Математика решение уравнений

Метод прямоугольников.

Шаблон интегрирования содержит один узел, интерполяционный многочлен имеет нулевую степень. Узел выбирают в середине отрезка (возможен выбор узла и в каком-нибудь конце отрезка, но точность при этом будет хуже). Узел Х0 на отрезке [di,di+1] задается формулой Х0=(di+di+1)/2=a+(i+0.5)*h, a интеграл заменяется на выражение h*f(X0).

Упражнение 3.1.Выяснить геометрический смысл такой замены.

Квадратурная формула метода прямоугольников имеет вид:

Метод трапеций.

Шаблон содержит два узла, которые расположены по краям отрезка [di,di+1], интерполяционный многочлен имеет первую степень. На отрезке [di,di+1] узлы задаются формулами: Х0=di=a+ih; X1=a+(i+1)*h, где i=0,1,2,...,k-1.

Формула шаблона метода трапеций принимает вид:

Упражнение 3.2.Выяснить геометрический смысл полученной формулы.

Упражнение 3.3.Пользуясь правилом получения весов, вывести самостоятельно формулу шаблона метода трапеций.

Складывая, получаем квадратурную формулу метода трапеций:

Существует несколько методов решения нелинейных уравнений. В данной работе рассмотрены такие, как метод деления отрезка пополам, метод простой итерации, метод Ньютона (касательных), метод хорд, комбинированный метод и метод Бройдена. Метод секущих Бройдена является одним из оптимальных методов решения нелинейных уравнений. По-этому, возникла задача, целью которой является написание программы, визуализирующую процесс нахождения корней нелинейных уравнений методом Бройдена.

Наиболее простым методом, позволяющим найти корень нелинейного уравнения, является метод половинного деления. Сходимости мала, но к достоинствам метода относятся простота и безусловная сходимость итерационного процесса. Метод Ньютона (Касательных) имеет квадратичную скорость сходимости. Он является одним из оптимальных методов, так же как и комбинированный метод приближения корня уравнения по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.

Решение нелинейных уравнений комбинированным методом возможно только при выполнении следующих условий:

1) ,

2)  и  сохраняют знак на отрезке ,

Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: ,

б) по методу хорд: .

При схождении к корню с разных сторон скорость схождения получается максимальной.

В процессе написания программы были реализованы два способа графического представления данного метода (пошаговый и стандартный).

Программа написана в интегрированной среде программирования Delphi 8.0 на языке Pascal. По средствам парсера формул функция преобразовывается в код, затем уравнение решается методом хорд и касательных. После достижения заданной точности выполняется построение графика пошагово и полностью. Парсер был реализован созданием специального класса.

При исследовании сходимости методов решения нелинейных уравнений метод Хорд и касательных оказался наиболее оптимальным из выбранных методов. На втором месте оказался метод Ньютона.

Метод Симпсона. Шаблон содержит 3 узла, которые расположены по краям и в середине отрезка [di,di+1]; интерполяционный многочлен имеет вторую степень.

Метод двойного счета. Задача 3.1. Доказать, что методы прямоугольников (с узлом в середине отрезка) и трапеций дают точный результат на всех линейных функциях, но не на всех квадратичных функциях, а метод Симпсона дает точный результат на всех многочленах третьей степени, но не четвертой.

Постановка задачи: С помощью ЭВМ вычислить интеграл функции на указанном отрезке методами прямоугольников, трапеций(n=50) и Симпсона(n=20 и n=40). Произвести оценку точности ответа методом двойного счета.

Метод Пикара.Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд, на котором мы сейчас остановимся.

Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:.

Среди графических рассмотрим метод Эйлера. Суть его состоит в последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х).

Поясним происхождение формул в методах Рунге-Кутта. Для получения закона вычисления значения Y(x) в каждой следующей точке поступают приблизительно так: выписывают разложение неизвестной функции в ряд Тейлора в точке Xi, как мы проделывали это выше, затем берут несколько первых членов этого разложения, и преобразуют полученную формулу Тейлора.

Постановка задачи: По заданному обыкновенному дифференциальному уравнению на фиксированном отрезке и значению искомой функции в левом конце определить значение в правом конце с требуемой точностью.


Математика решение уравнений